2. Fundamentos de Jatos Eletrohidrodinâmicos

Os jatos eletrohidrodinâmicos surgem devido à interação de forças eletromecânicas num fluido submetido a um campo elétrico. Neste capítulo será feita a descrição detalhada desses mecanismos.

2.1. Princípio do Cone de Taylor

Quando um líquido é submetido a um campo elétrico externo e, se este último for suficientemente intenso, pode ocorrer um cone agudo de líquido, a partir do qual, se as condições o permitirem, se forma um jato fino. Este cone é conhecido como "Cone de Taylor", em homenagem ao físico Geoffrey Ingram Taylor, que fez contribuições significativas para a compreensão deste efeito nos anos 1960 (Taylor, 1964). A formação do Cone de Taylor é uma manifestação direta da interação entre as forças eletrostáticas e as forças de tensão superficial. Em essência, sob a influência de um campo elétrico, as cargas elétricas acumulam-se na superfície do líquido. A repulsão entre as cargas semelhantes provoca uma força que age contra a tensão superficial, que tende a manter a superfície do líquido coesa de forma uniforme, em exemplo, a forma habitual do menisco. Quando a força eletrostática consegue superar a tensão superficial, o cone emite um jato eletrohidrodinâmico. Este cone pode ser visto na Figura 2.1, onde o líquido é representado por \( \Omega_1 \) e o ambiente externo (ar) é o \( \Omega_2 \). Na mesma figura vemos um bocal capilar que está a um potencial elétrico \( \Phi \) e pelo qual entra o líquido.

As forças atuantes no cone de Taylor são:
  • Força Elétrica (Força de Maxwell):
    • \[ \mathbf{f}_{e} = \rho_e \mathbf{E} \]
  • Força de Tensão Superficial:
    • \[ \mathbf{f}_{\gamma} = \gamma \nabla S \]
  • Força de Polarização:
    • \[ \mathbf{f}_{Q^+} = \nabla \cdot (\mathbf{P} \otimes \mathbf{E}) - \mathbf{P} \cdot \nabla \mathbf{E} \]
  • Força Gravitacional:
    • \[ \mathbf{f}_{g} = \rho \mathbf{g} \]
  • Forças Viscosas:
    • \[ \mathbf{f}_{\mu} = \mu \nabla^2 \mathbf{u} \]
  • Força de Pressão:
    • \[ \mathbf{f}_{p} = -\nabla p \]
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Fig 2.1 Esquema das forças eletrostáticas e hidrodinâmicas a atuar na formação de um cone de Taylor.

2.2 Equações de Governo

Os jatos de cone de Taylor são considerados um problema de escoamento eletrohidrodinâmico imiscível. As equações de governo deste escoamento são uma peculiaridade da magnetohidrodinâmica (MHD) e nesta secção iremos descrever as equações de governo e as simplificações feitas para chegar à eletrohidrodinâmica (EHD). As equações de governo para o escoamento incompressível, isotérmico e não-estacionário são as equações de Navier-Stokes e a equação de continuidade.

Consideramos logo de início um escoamento incompressível, isotérmico e não estacionário. Considere um domínio \( \Omega_0 \) durante um intervalo de tempo \( t \in [0, T] \). As equações de governo para a conservação de massa, quantidade de movimento, densidade de carga elétrica e campo elétrico são apresentadas a seguir:

Conservação da Massa (Equação da Continuidade): \[ \quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0, \quad \text{em } \Omega_0 \times [0, T]. \] Conservação da Quantidade de Movimento: \[ \quad \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}, \quad \text{em } \Omega_0 \times [0, T]. \] Conservação da Densidade de Carga Elétrica: \[ \quad \frac{\partial \rho_{e}}{\partial t} + \nabla \cdot\left(\rho_{e} \vec{u} \right) + \nabla \cdot (\sigma \vec{E}) = 0. \] Campo Elétrico: \[ \quad -\varepsilon \nabla^2 \phi_e = \rho_{e}. \]

Em termos das forças que as gotas emitidas por um jato EHD irão estar sujeitas são: uma força elétrica da ordem \(\sim \mathbf{f}_e \equiv \varepsilon_0 \phi_e^2\), uma força gravitacional (no mesmo sentido do campo elétrico) da ordem de \(\sim \mathbf{f}_g \equiv \rho d_d^3 \mathbf{g}\), uma força inercial devido à quantidade de movimento injetada no bocal tal que \( \mathbf{f}_p \equiv \rho Q_i^2 / D_i^2$\) e, por fim, uma força capilar de oposição ao campo elétrico da ordem $\sim \mathbf{f}_{\gamma} \equiv \gamma D_0$ \footnote{Aqui usa-se o diâmetro externo do bocal \(D_0\) nas condições em que o cone de Taylor molha o bocal e fica preso à extremidade do boca. De considerar também que mesmo que isto não seja o caso podemos assumir que \(D_0/D_i \sim 1\) }.

Em resumo, as equações de governo aqui resumidas têm como hipóteses/simplificações:

  1. Escoamento incompressível. Assume-se que a densidade do fluido é constante e não varia com a pressão ou outras variáveis.
  2. Fluidos não-miscíveis. Os diferentes fluidos (ou fases) não se misturam e mantêm uma interface distinta.
  3. Tensões induzidas desprezáveis. Despreza-se qualquer tensão devido a efeitos eletromagnéticos.
  4. Escoamento laminar. Despreza-se a turbulência e as suas complexidades associadas.
  5. Campo elétrico estacionário. As variações temporais do campo elétrico são negligenciadas.
  6. Geometria fixa. A estrutura ou geometria que contém o fluido não se deforma ou move em resposta ao escoamento ou a forças externas.
  7. Propriedades do fluido constantes. A viscosidade e outras propriedades relevantes são consideradas constantes e não variáveis.
  8. Condição isotérmica. Não há variação de temperatura no domínio.
  9. Sem evaporação. Os fluidos não evaporam, independentemente das condições.
  10. Cargas elétricas constantes. As cargas elétricas no fluido são conservadas.

2.3. Tipos de instabilidades

Rayleigh-Plateau

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Fig 2.2 Demonstração da instabilidade de onda devido à tensão superficial.

Bending/Whipping

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Fig 2.3 Esquema das forças atuantes, que influenciam o jato na formação da primeira onda (curva abc) .

Expansão de Coulomb

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Fig 2.5 Visualização do campo elétrico e da expansão eletrostática.