3. Modelação

A modelação matemática fornece uma ferramenta crucial para a análise e previsão do comportamento dos jatos eletrohidrodinâmicos. Através da implementação de modelos teóricos em ambientes de simulação é possível investigar as características mais complexas destes jatos, como os padrões de atomização e a formação de gotas, e isto sem a necessidade de realizar experiências longas e dispendiosas.

Neste capítulo apresentamos uma abordagem para a modelação de jatos EHD utilizando como código base OpenFOAM, um conhecido software de criação de modelos de simulação numérica baseado no métodos de volumes finitos (FVM). Iremos apresentar o modelo físico-matemático subjacente à simulação, discutindo as equações fundamentais que governam o escoamento e a atomização em jatos EHD, bem como os parâmetros específicos necessários para a sua aplicação.

Também iremos descrever a metodologia utilizada para implementar este modelo no ambiente OpenFOAM, delineando os passos críticos para criar e executar a simulação, assim como os desafios associados a esta implementação. Em resumo, este capítulo apresenta uma proposta de modelo de simulação de jatos EHD baseada,

  1. Método das Volumes Finitos (FVM) ;
  2. Método dos Volumes de Fluido (VoF) ;
  3. Tratamento algébrico e geométrico da interface do escoamento bifásico;
  4. Modelo Lagrangian Tracking Particle;
  5. Modelo híbrido VoF-LPT.



3.1. Método dos Volumes Finitos (FVM)

A premissa básica de um método numérico que resolve as equações de governo de um problema físico-matemático é a procura da solução para o domínio computacional discretizado, que compreende um número finito de nós computacionais, tanto no espaço como no tempo. Em geral o objetivo é fornecer uma representação adequada da solução para o domínio físico contínuo. Isto diz respeito tanto à precisão como exatidão da solução numérica aproximada. Além disso, é premissa que ao aumentar o número de nós computacionais (até ao infinito) a solução numérica aproximada deve tender para da solução exata. A Figura 3.1 ilustra o que é a discretização do espaço de resolução das equações.

O método dos volumes finitos (FVM) é o de base dese trabalho utilizando uma metodologia colocalizada numa malha computacional poliédrica, não estruturada, com elementos de malha arbitrários. As propriedades que definem a dinâmica do fluido estão centradas nos centróides do volume de controlo.

O OpenFOAM utiliza o método dos volumes finitos (FVM) com uma formulação centrada nas células para resolver sistemas de equações diferenciais parciais em malhas tridimensionais estruturadas ou não estruturadas, constituídas por células convexas de forma arbitrária. Para isso é necessário discretizar a equação de modo a transformar uma ou mais equações governantes num sistema correspondente de equações algébricas, que seja possível de resolver. Para isso devemos expressar as equações de Navier-Stokes na forma integral, para um volume de controlo \(V_c\).

\[ \begin{aligned} \int_{t}^{t+\Delta t} \left[ \int_{V_c} \left( \frac{\partial \rho \phi}{\partial t} - S_{\phi} \right) d V \right] d t & = \\ &=\int_{t}^{t+\Delta t}\left[ \oint_{Sc} \left(\Gamma_{\phi} \nabla \phi - \rho \phi \vec{\mathrm{U}} \right)\cdot d \vec{S} \right] d t \end{aligned} \]
A estabilidade e precisão da integração temporal é dada pala condição de Courant para a hidrodinâmica e pelo tempo de relaxação elétrica, tal que,
\[ \Delta t= F_{s} \min \left[\min \left\{\frac{\varepsilon_{1}}{\sigma_{1}}, \frac{\varepsilon_{2}}{\sigma_{2}}\right\}, C_\text{max} \frac{\Delta x}{\|\mathbf{u}\|}\right] \]
Onde \( C_{max} = 0.1\) é o número de Courant máximo permitido e \( F_s = 0.9 \) o fator de segurança.
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Fig 3.1 Ilustração do processo de discretização do espaço contínuo em discreto, as equações de governo passam a ter a forma matricial que é discreta e correspondem aos diferentes pontos da malha computacional.



3.2. Método do Volume de Fluido (VoF)

O método do Volume de Fluido (VoF) tem como vantagem peculiar o facto de ser utilizado apenas com um único conjunto de equações para ambas as fases do escoamento, porque utiliza uma única variável de estado. Vamos supor que o sistema de fluido bifásico preenche todo o domínio computacional \( \Omega_0 \subset \mathbb{R}^2 \), de forma que duas fases \( \Omega_{\{1,2\}} \subset \mathbb{R}^2 \) separadas por uma espessura \( \Sigma \subset \mathbb{R}^2 \) que representa a interface entre os fluidos, tal que,

\[ \Omega_0 = \Omega_1 (t) \cup \Omega_2 (t) \cup \Sigma (t). \] A variável de estado é incorporada como \( \alpha \), representando a fração de fase do fluxo e é definida como \[ \alpha (t)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { em } \Omega_{1} (t),} \\ {0} & {\text { em } \Omega_{2} (t),} \\ {\left] 0,1 \right[ } & {\text { em } \Sigma(t)}\end{array}\right. \] O método VOF acrescenta uma equação de governo para o transporte desta fração de volume \(\alpha\), denominada equação de convecção, dada por:
\[ \frac{\partial \alpha}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha \mathbf{u}) = 0 \]
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Fig 3.2. Esboço do clássico problema do jato em cone de Taylor e exemplificação do método de Volume de Fluido (VoF) utilizado. O líquido no interior do capilar é conduzido por um campo elétrico externo constante. Os valores da fração de fase são representativos.



3.3. Método da Particula Discreta (LPT)

O método Lagrangiano de seguimento de partículas (LPT) segue o movimento de elementos de fluido Lagrangianos ao longo do domínio computacional. Cada elemento representa um determinado número de gotículas com propriedades idênticas, como sejam o diâmetro e a velocidade. São tratadas como massas pontuais e, portanto, não contêm volume. A posição e a velocidade são atualizadas em cada passo de tempo com base em equações diferenciais definidas para a sua trajetória e quantidade de movimento,

\[ \frac{\partial \vec{x}_p}{\partial t} = \mathbf{u}_p, \] \[ m_p \frac{\partial \mathbf{u}_p}{\partial t} = \mathbf{F}_D + \mathbf{F}_G + \mathbf{F}_E, \] onde, \(m_p\) é a massa da partícula, que tem uma velocidade e posição \(\mathbf{u}_p\) e \(\mathbf{x}_p\). Para cada parcela são consideradas três forças atuantes. As forças são a de arrasto \(\mathbf{F}_D\), a devida ao campo gravitacional \(\mathbf{F}_G\) e a devida ao campo eletrostático \(\mathbf{F}_E\).

3.3.1 Critérios conversão VoF-LPT

  1. Diâmetro. \( d_p \le d_\text{max} \), onde \( d_p = \sqrt[3]{\frac{6 V_p}{\pi}} \)
  2. Esfericidade. \( \Psi_p \le 2 \), onde \( \Psi_p = \frac{2 \|\mathbf{r}_p\|_\text{max}}{d_p} \)
  3. Carga elétrica. \( q_p \le q_R \), onde \( q_R = \left( 8 \pi \varepsilon_0 \gamma d_p^3 \right)^{1/2}\)
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Fig 3.8. (esquerda) Visualização de um plano a cortar uma gota a que voa no domínio de cálculo, colorido pela função \( \alpha \) e com as linhas brancas a mostrar a malha computacional. (direita) Demonstração de uma gota não-esférica com uma esfericidade \( \Psi_p > 1 \) e uma gota esférica \( \Psi_p \approx 1 \).